Ähnlichkeits-DGL
Über diese App
DGLs y′ = F(y/x) im Richtungsfeld: Isoklinen sind Ursprungsgeraden, eine zentrische Streckung bildet Lösungen auf Lösungen ab (C′ = C − ln λ), beim Zoom zum Ursprung bleibt das Feld gleich. Rechenweg in fünf Schritten mit Zahlen: erkennen, u = y/x, x·u′ = F(u) − u trennen, zurücksubstituieren, Anfangswert. Fünf Beispiele bis zur logarithmischen Spirale, Fixgeraden F(u) = u, Test „ähnlich?“ mit Strahlprobe.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Was eine Ähnlichkeits-DGL ist
Eine Differentialgleichung y′ = f(x, y) heißt Ähnlichkeits-DGL oder homogene DGL, wenn die rechte Seite nur vom Verhältnis y/x abhängt, also y′ = F(y/x). Gleichwertig ist f(tx, ty) = f(x, y) für alle t ≠ 0. Gelöst wird sie mit der Substitution u = y/x: Aus y = x·u folgt mit der Produktregel y′ = u + x·u′, und die Gleichung wird zu x·u′ = F(u) − u. Die ist separierbar. Nach dem Integrieren setzt man y = x·u zurück und bestimmt die Konstante aus dem Anfangswert.
Was die App zeigt
Die App zeichnet das Richtungsfeld von fünf Beispielen, darunter y′ = (x + y)/x mit der Lösung y = x·(ln|x| + C) und y′ = (x + y)/(x − y) mit logarithmischen Spiralen. Ein Rechenweg führt in fünf Schritten vom Erkennen bis zum Anfangswert, mit eingesetzten Zahlen. Die Szene zeigt dazu passend die Isoklinen: Auf jeder Ursprungsgeraden ist die Steigung gleich. Eine zentrische Streckung um den Ursprung bildet die Lösung durch P auf die Lösung durch λ·P ab, und beim Zoom zum Ursprung bleibt das Feld genau gleich.
Was man ausprobieren kann
Zieh den Anfangspunkt P oder tippe ins Feld, ändere den Streckfaktor λ und sieh, wie sich die gestrichelte, gestreckte Kurve mit einer Lösung deckt. Starte die Zoom-Fahrt: Das Feld bleibt stehen, die Kurven gehen ineinander über. Geh die Schritte 1 bis 5 einzeln durch und achte bei y′ = y²/x² auf die Fixgeraden y = 0 und y = x, die beim Teilen verloren gehen. Im Test entscheidest du bei 14 Gleichungen, ob sie ähnlich sind, und siehst die Strahlprobe im Feld.
Häufige Fragen
- Wie erkennt man eine Ähnlichkeits-DGL?
- Man ersetzt x durch tx und y durch ty. Kürzt sich t vollständig heraus, gilt also f(tx, ty) = f(x, y), dann hängt die rechte Seite nur von y/x ab. Beispiel: (x + y)/x wird zu (tx + ty)/(tx) = (x + y)/x. Bei x + y bleibt dagegen t·(x + y) stehen.
- Wie löst man eine homogene DGL y′ = F(y/x)?
- Man setzt u = y/x, also y = x·u und y′ = u + x·u′. Dann gilt x·u′ = F(u) − u. Diese Gleichung trennt man (du/(F(u) − u) = dx/x), integriert beide Seiten, setzt y = x·u zurück und bestimmt die Konstante aus dem Anfangswert. Die Substitution gilt für x ≠ 0.
- Warum sind die Isoklinen einer Ähnlichkeits-DGL Ursprungsgeraden?
- Auf einer Geraden y = kx durch den Ursprung ist y/x = k konstant, also auch die Steigung F(k). Deshalb gehen Lösungskurven durch eine zentrische Streckung um den Ursprung wieder in Lösungskurven über. Ursprungsgeraden mit F(k) = k sind selbst Lösungen; sie gehen beim Teilen durch F(u) − u verloren.
- Was kann ich in der App einstellen?
- Du wählst eines von fünf Beispielen, ziehst den Anfangspunkt, stellst Streckfaktor und Zoom ein, gehst den Rechenweg Schritt für Schritt durch und blendest Isoklinen und Lösungsschar ein. Ein Test fragt bei 14 Gleichungen, ob sie ähnlich sind. Ein Erklärmodus führt durch alles.
Fach: Differentialgleichungen
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