Lineare Substitution
Über diese App
DGLs vom Typ y′ = f(ax + by + c) in fünf Schritten: u = ax + by + c erkennen, u′ = a + b·f(u) herleiten, trennen und integrieren, zurücksubstituieren, Anfangswert einsetzen. Zwei Karten x-y und x-u, „Ebene drehen“ macht die Geraden u = konstant waagrecht; Beispiele y′ = 2x − y (Asymptote y = 2x − 2), y′ = (x + y)², y′ = 1/(x − y) + 1, y′ = x + y + 1; Spiel „Finde u“ und „Wohin läuft sie?“.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Wann die lineare Substitution hilft
Eine Differentialgleichung erster Ordnung der Form y′ = f(ax + by + c) hängt rechts nur von einem linearen Term in x und y ab. Man setzt u = ax + by + c. Mit der Kettenregel folgt u′ = a + b·y′ = a + b·f(u). Diese neue Gleichung enthält nur noch u, sie ist autonom und damit separierbar. Nach dem Trennen und Integrieren löst man u = ax + by + c nach y auf und setzt den Anfangswert ein. Konstante Lösungen u* mit a + b·f(u*) = 0 gehen beim Teilen verloren und werden extra notiert.
Was die App zeigt
Zwei Karten stehen nebeneinander. Links die x-y-Ebene mit dem Richtungsfeld der DGL und der Geradenschar u = konstant: Entlang jeder dieser Geraden haben alle Linienelemente dieselbe Steigung. Rechts die x-u-Ebene mit dem Richtungsfeld von u′ = a + b·f(u), in dem die Steigung nur von der Höhe u abhängt. Der Rechenweg steht in fünf Schritten mit eingesetzten Zahlen daneben. Beim Pflichtbeispiel y′ = 2x − y ergibt sich u′ = 2 − u, die Lösung y = 2x − 2 + C·e⁻ˣ und die Asymptote y = 2x − 2.
Was man ausprobieren kann
Zieh den Anfangspunkt in einer der beiden Ebenen und verfolge, wie sich u₀ und die Konstante C ändern. „Ebene drehen“ überführt die x-y-Ebene stetig in die x-u-Ebene, die schrägen Geraden werden dabei waagrecht. Vier Beispiele zeigen verschiedene Verläufe: Annäherung an eine Asymptote, einen Pol bei y′ = (x + y)², ein Ende auf der Geraden y = x und eine instabile Gerade. Im Spiel wählst du zu einer DGL das richtige u oder sagst vorher, wohin die Lösung läuft.
Häufige Fragen
- Wie löst man y′ = 2x − y mit Substitution?
- Man setzt u = 2x − y. Dann ist u′ = 2 − y′ = 2 − u. Trennen ergibt du/(2 − u) = dx, also u = 2 − C·e⁻ˣ. Zurück mit y = 2x − u folgt y = 2x − 2 + C·e⁻ˣ. Mit y(0) = 1 ist C = 3.
- Warum gilt u′ = a + b·f(u)?
- u = ax + by + c hängt über y(x) von x ab. Ableiten nach x liefert u′ = a + b·y′. Für y′ setzt man die Differentialgleichung y′ = f(ax + by + c) = f(u) ein. Wer nur u′ = f(u) schreibt, vergisst die innere Ableitung.
- Welche DGLs lassen sich so lösen?
- Alle Gleichungen y′ = f(ax + by + c) mit b ≠ 0, bei denen die rechte Seite nur über einen linearen Term von x und y abhängt, etwa y′ = (x + y)², y′ = cos(x + 2y + 1) oder y′ = e^(x + y). Ob sich die entstehende separierbare Gleichung geschlossen integrieren lässt, hängt von f ab.
- Was kann ich in der App einstellen?
- Du wählst eines von vier Beispielen, ziehst den Anfangspunkt, gehst den Rechenweg Schritt für Schritt durch, drehst die Ebene von x-y nach x-u und blendest Richtungsfeld, Geraden und Lösungsschar ein oder aus. Ein Spiel und ein Erklärmodus sind dabei.
Fach: Differentialgleichungen
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