Lineare DGL erster Ordnung
Über diese App
y′ + p(x)·y = q(x) in vier Schritten: homogene Schar y_h = C·e^(−P(x)) per Separation, Variation der Konstanten mit einem Läufer, der über die Schar wandert (C(x) als Kurve in der C-Ebene), allgemeine Lösung als um y_p verschobene Schar mit der Differenz zweier Lösungen, Anfangswert. Rechenweg mit Zahlen; Beispiele y′ + y = x, y′ − 2xy = x, y′ + y/x = x², Abkühlung, RC-Glied; Spiel „Bau die Lösung zusammen“.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Das Verfahren
Eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung hat die Form y′ + p(x)·y = q(x). Zuerst löst man die homogene Gleichung y′ = −p(x)·y durch Trennen der Variablen und erhält die Schar y_h = C·e^(−P(x)), wobei P eine Stammfunktion von p ist. Bei der Variation der Konstanten wird C durch eine Funktion C(x) ersetzt. Beim Einsetzen fallen alle Terme mit C(x) weg, übrig bleibt C′(x) = q(x)·e^(P(x)). Integrieren liefert eine partikuläre Lösung y_p und die allgemeine Lösung y = y_p + C·y_h. Ein Anfangswert legt C fest.
Was die App zeigt
Zwei Karten stehen nebeneinander. Links siehst du Richtungsfeld, homogene Schar, partikuläre Lösung und die gewählte Lösung. Rechts steht die C-Ebene mit C = y·e^(P(x)): Dort ist jede homogene Lösung eine waagerechte Gerade, und y_p wird zur Kurve C(x). Ein Läufer fährt über y_p und zeigt, dass y_p an jeder Stelle auf der homogenen Kurve mit der Konstanten C(x) liegt. In Schritt 3 wird die homogene Schar um y_p verschoben, zwei Lösungen unterscheiden sich um eine homogene Lösung. Der Rechenweg steht mit eingesetzten Zahlen daneben.
Selbst ausprobieren
Wähle eines von fünf Beispielen: y′ + y = x, y′ − 2xy = x, y′ + y/x = x² für x > 0, die Abkühlung eines Kaffees nach Newton und ein RC-Glied an Wechselspannung. Ziehe in Schritt 2 den Läufer und vergleiche C(x) in beiden Karten. Setze in Schritt 4 den Anfangspunkt und lies C ab. Im Spiel „Bau die Lösung zusammen“ schätzt du zuerst, ob die gesuchte Lösung über oder unter y_p liegt, und ziehst dann den Startwert so, dass die Lösung genau durch ein Ziel geht.
Häufige Fragen
- Wie funktioniert die Variation der Konstanten?
- Man setzt y = C(x)·y_h an, wobei y_h eine Lösung der homogenen Gleichung ist. Die Produktregel liefert C′·y_h + C·(y_h′ + p·y_h) = q. Die Klammer ist null, also gilt C′(x) = q(x)/y_h(x) = q(x)·e^(P(x)). Integrieren ergibt C(x) und damit die Lösung.
- Warum ist die allgemeine Lösung y_p plus homogene Lösung?
- Sind y₁ und y₂ zwei Lösungen von y′ + p·y = q, dann erfüllt ihre Differenz d = y₁ − y₂ die Gleichung d′ + p·d = 0. Jede Lösung ist also eine feste partikuläre Lösung plus eine Lösung der homogenen Gleichung. Welche partikuläre Lösung man wählt, ist dabei gleich.
- Wie löst man y′ + y = x?
- Homogen: y_h = C·e^(−x). Variation: C′(x)·e^(−x) = x, also C′(x) = x·e^x und durch partielle Integration C(x) = (x − 1)·e^x. Damit ist y_p = x − 1 und y = x − 1 + C·e^(−x). Mit y(0) = 1 folgt C = 2.
- Was zeigt die C-Ebene in der App?
- Sie zeigt C = y·e^(P(x)) über x. Homogene Lösungen sind dort waagerechte Geraden, die partikuläre Lösung ist die Kurve C(x), und alle Lösungen der vollen Gleichung sind senkrecht verschobene Kopien davon. Der Faktor e^(P(x)) ist zugleich der integrierende Faktor.
Fach: Differentialgleichungen
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