Schnürsenkelmethode: das Vektorprodukt
Über diese App
Das Vektorprodukt a × b nach der Schulregel: zwei Spalten, Kopie darunter, erste und letzte Zeile streichen, dreimal über Kreuz schnüren (hin minus zurück). Die Schnüre zeichnen sich ein, die Rechnungen stehen daneben, das Ergebnis bekommt Klammern. Probe mit dem Skalarprodukt mit a, b oder c = (7, 8, 9), |a × b| als Fläche des Parallelogramms.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Die Schulregel für a × b
Das Vektorprodukt zweier Vektoren im Raum hat die Komponenten a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3 und a1b2 − a2b1. Die Schnürsenkelmethode macht daraus ein Rezept ohne Auswendiglernen: a und b ohne Klammern als zwei Spalten schreiben, beide Spalten direkt darunter kopieren, erste und letzte Zeile streichen. In den vier mittleren Zeilen ergibt jedes Kreuz zweier Nachbarzeilen eine Komponente: Produkt hin minus Produkt zurück. Auch die mittlere Komponente kommt mit dem richtigen Vorzeichen heraus.
Was die App zeigt
Die Schnüre zeichnen sich zwischen den Zahlen ein, hin und zurück in zwei Farben, die Rechnung erscheint neben jedem Kreuz. Für (1, 2, 3) × (4, 5, 6): 2 · 6 − 3 · 5 = −3, 3 · 4 − 1 · 6 = 6, 1 · 5 − 2 · 4 = −3. Die drei Zahlen gleiten in Vektorklammern: a × b = (−3, 6, −3). Am Ende ziehen sich die Schnüre wie eine Schleife zu.
Ausprobieren und prüfen
Komponenten von a und b lassen sich zwischen −9 und 9 ändern, dazu gibt es Beispiele: Basisvektoren e1 × e2 = e3, parallele Vektoren mit dem Nullvektor und eine Klausuraufgabe. Die Probe rechnet das Skalarprodukt mit a, mit b oder mit einem frei wählbaren c. Mit c = (7, 8, 9) kommt ebenfalls 0 heraus, weil die Tastenreihen 1-2-3, 4-5-6, 7-8-9 des Telefons in einer Ebene liegen. Die Länge |a × b| steht als Fläche des Parallelogramms im Panel.
Häufige Fragen
- Wie berechnet man das Kreuzprodukt zweier Vektoren?
- Komponentenweise: a × b = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1). Mit der Schnürsenkelmethode schreibt man a und b als Spalten, kopiert sie darunter, streicht erste und letzte Zeile und rechnet in den vier mittleren Zeilen dreimal über Kreuz: hin minus zurück.
- Wie prüft man, ob das Kreuzprodukt richtig ist?
- a × b steht senkrecht auf a und auf b. Das Skalarprodukt mit a und mit b muss deshalb 0 sein. Beispiel: (−3, 6, −3) · (1, 2, 3) = −3 + 12 − 9 = 0.
- Was bedeutet die Länge des Kreuzprodukts?
- |a × b| ist der Flächeninhalt des Parallelogramms, das a und b aufspannen. Für (1, 2, 3) und (4, 5, 6) ist das √54 ≈ 7,35. Bei parallelen Vektoren ist die Fläche 0 und a × b der Nullvektor.
- Kann ich in der App eigene Vektoren eingeben?
- Ja. Alle sechs Komponenten von a und b lassen sich zwischen −9 und 9 einstellen, Schnüre, Rechnungen, Ergebnis und Probe rechnen sofort neu. Schritt für Schritt oder als Ablauf abspielbar.
Fach: Analytische Geometrie
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