Warum ist das Skalarprodukt zweier verschiedener Einheitsvektoren 0?

Die Einheitsvektoren e1, e2, e3 stehen senkrecht aufeinander. Nach der Definition ist e1·e2 = 1·1·cos 90° = 0. Für gleiche Einheitsvektoren ist der Winkel 0°, also e1·e1 = 1.

Wie leitet man die Koordinatenformel des Skalarprodukts her?

Man schreibt a = a1e1 + a2e2 und b = b1e1 + b2e2, setzt ein und multipliziert aus. Es entstehen Terme ai bj (ei·ej). Nur die mit i = j sind 1, alle anderen 0. Übrig bleibt a1b1 + a2b2.

Gilt die Formel auch im Raum?

Ja. Mit drei Einheitsvektoren entstehen 9 Terme, sechs davon sind 0. Es bleibt a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3.

Was kann ich in der App einstellen?

Ebene oder Raum, ein Zahlenbeispiel am Ende, Abspielen sowie Schritt für Schritt vor und zurück.

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Skalarprodukt: Schulformel aus der Hochschulformel

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Warum a·b = a1b1 + a2b2 aus a·b = |a||b|cos φ folgt: zerlegen in Einheitsvektoren, einsetzen, ausmultiplizieren, Kästen e_i·e_j mit cos 0° = 1 und cos 90° = 0 ausrechnen — die Nullterme fallen weg. In 2D (4 Terme) und 3D (9 Terme), optional mit Zahlenbeispiel.

Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.

Zwei Formeln für dasselbe Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist über Längen und Winkel definiert: a·b = |a|·|b|·cos φ. Rechnen lässt es sich aber meist mit der Koordinatenformel a·b = a1b1 + a2b2 (+ a3b3 im Raum). Dass beide Formeln dasselbe liefern, ist kein Zufall: Die Koordinatenformel folgt aus der Definition und den Rechenregeln Vertauschen, Zahlen herausziehen und Ausmultiplizieren. Umgekehrt gewinnt man so den Winkel: cos φ = a·b / (|a|·|b|).

Was die App zeigt

Die Herleitung läuft Schritt für Schritt als animierte Formel. Beide Vektoren werden in Einheitsvektoren zerlegt, eine kleine Skizze zeigt e1 und e2 mit Länge 1 und rechtem Winkel. Nach dem Einsetzen wird ausmultipliziert, Term für Term. Kästen umrahmen die Skalarprodukte der Einheitsvektoren; mit der Definition werden sie zu 1 (gleiche Vektoren, cos 0°) oder 0 (senkrecht, cos 90°). Die Nullterme fallen weg, übrig bleibt die Koordinatenformel.

Ausprobieren

Mit den Pfeilen geht es vor und zurück, jeder Übergang läuft auch rückwärts. Im Raum entstehen 9 Terme statt 4, sechs davon fallen weg. Ein Zahlenbeispiel rechnet (1,2,3)·(4,5,6) = 4 + 10 + 18 = 32 nach.

Häufige Fragen

Warum ist das Skalarprodukt zweier verschiedener Einheitsvektoren 0?: Die Einheitsvektoren e1, e2, e3 stehen senkrecht aufeinander. Nach der Definition ist e1·e2 = 1·1·cos 90° = 0. Für gleiche Einheitsvektoren ist der Winkel 0°, also e1·e1 = 1.
Wie leitet man die Koordinatenformel des Skalarprodukts her?: Man schreibt a = a1e1 + a2e2 und b = b1e1 + b2e2, setzt ein und multipliziert aus. Es entstehen Terme ai bj (ei·ej). Nur die mit i = j sind 1, alle anderen 0. Übrig bleibt a1b1 + a2b2.
Gilt die Formel auch im Raum?: Ja. Mit drei Einheitsvektoren entstehen 9 Terme, sechs davon sind 0. Es bleibt a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3.
Was kann ich in der App einstellen?: Ebene oder Raum, ein Zahlenbeispiel am Ende, Abspielen sowie Schritt für Schritt vor und zurück.

Fach: Analytische Geometrie

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