Abstand Punkt – Gerade (3D)
Über diese App
Abstand Punkt–Gerade im Raum: Lotfußpunkt über die Orthogonalitätsbedingung, Lot-Strecke mit Rechtwinkel-Marke und der Abstand live. Punkt per Slider oder Ziehen bewegen; Kreuzprodukt-Formel als Kontrolle.
Worum es geht
Eine Gerade im Raum ist gegeben durch g: x = A + t·u mit Stützpunkt A und Richtungsvektor u. Der kürzeste Weg von einem Punkt P zur Geraden trifft sie im Lotfußpunkt F und steht dort senkrecht auf g. Aus der Lotbedingung PF·u = 0 folgt der Parameter t₀ = (AP·u)/(u·u) und damit F = A + t₀·u. Der Abstand ist d = |PF|. Alternativ gilt d = |AP × u|/|u|, denn der Betrag des Kreuzprodukts ist die Fläche des Parallelogramms aus AP und u, geteilt durch die Grundseite |u|.
Was die App zeigt
Die 3D-Szene zeigt die Gerade g, ihren Richtungsvektor u, den Punkt P, den Lotfußpunkt F und die Lotstrecke PF mit einer Rechtwinkel-Marke. Im Steuerungs-Panel stellst du P, A und u über Zahlenfelder ein; P lässt sich zusätzlich mit der Maus auf der Bodenebene ziehen. Das Werte-Panel rechnet t₀, F und d live mit und zeigt die Lotbedingung PF·u, die bei richtiger Rechnung null ist. Beide Abstandsformeln stehen nebeneinander als Kontrolle.
Selbst ausprobieren
Ziehe P entlang der Geraden und beobachte, wie F mitwandert, während d gleich bleibt, solange P auf einer Parallelen zu g liegt. Lege P direkt auf die Gerade: Dann fallen P und F zusammen und d wird null. Ändere den Richtungsvektor u, etwa durch Verdoppeln, und prüfe, dass sich t₀ ändert, F und d aber nicht. So wird klar, dass der Abstand nicht von der Parametrisierung abhängt.
Häufige Fragen
- Wie berechnet man den Abstand eines Punktes zu einer Geraden im Raum?
- Man bestimmt den Lotfußpunkt F über t₀ = (AP·u)/(u·u) und F = A + t₀·u und berechnet d = |PF|. Schneller geht es mit der Formel d = |AP × u|/|u|. Beide Wege liefern dasselbe Ergebnis.
- Was ist ein Lotfußpunkt?
- Der Lotfußpunkt ist der Punkt auf der Geraden, der dem gegebenen Punkt am nächsten liegt. Die Verbindungsstrecke vom Punkt zum Lotfußpunkt steht senkrecht auf der Geraden. Ihre Länge ist der Abstand.
- Warum funktioniert die Kreuzprodukt-Formel für den Abstand?
- |AP × u| ist die Fläche des Parallelogramms, das AP und u aufspannen. Teilt man durch die Grundseite |u|, erhält man die Höhe des Parallelogramms. Diese Höhe ist genau der senkrechte Abstand von P zur Geraden.
- Wie bediene ich die App?
- Du stellst P, den Stützpunkt A und den Richtungsvektor u über Zahlenfelder ein oder ziehst P auf der Bodenebene. Die Höhe von P regelst du im Py-Feld. Lotfußpunkt, Parameter t₀ und Abstand werden live angezeigt.
Fach: Analytische Geometrie
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