Abstand windschiefer Geraden (3D)
Über diese App
Abstand zweier windschiefer Geraden: gemeinsames Lot n = u×v, die Lotfußpunkte auf beiden Geraden und der Abstand d = |AB·n|/|n| — alles live über Slider; der Parallelfall wird sauber abgefangen.
Was windschief bedeutet
Zwei Geraden g: x = A + s·u und h: x = B + t·v heißen windschief, wenn sie weder parallel sind noch sich schneiden. Das gibt es erst im Raum. Ihr Abstand ist die Länge der kürzesten Verbindungsstrecke. Diese steht senkrecht auf beiden Geraden und zeigt deshalb in Richtung des Kreuzprodukts n = u × v. Mit AB = B − A ist der Abstand die Projektion von AB auf diese Richtung: d = |AB·n|/|n|. Ist d = 0, schneiden sich die Geraden.
Was die App zeigt
Die Szene zeigt beide Geraden, den Normalenvektor n und das gemeinsame Lot zwischen den Lotfußpunkten F_g und F_h. Über Schieberegler veränderst du Basispunkte A, B und Richtungen u, v. Das Werte-Panel listet alle Vektoren, n, |n|, beide Lotfußpunkte und den Abstand d. Werden die Richtungen parallel, gibt es keinen eindeutigen Lotfußpunkt; die App meldet das und rechnet den Abstand dann mit |AB × u|/|u|.
Selbst ausprobieren
Drehe eine Richtung langsam, bis u und v parallel werden, und achte auf den Wechsel der Formel. Verschiebe B so, dass d gegen null geht: Dann schneiden sich die Geraden. Beobachte auch, dass die Lotstrecke immer senkrecht auf beiden Geraden steht, egal wie du sie stellst. Mit „Beispiel zurücksetzen“ kommst du zur Ausgangslage zurück.
Häufige Fragen
- Wie berechnet man den Abstand zweier windschiefer Geraden?
- Man bildet den Normalenvektor n = u × v aus den Richtungsvektoren und den Verbindungsvektor AB der Stützpunkte. Der Abstand ist d = |AB·n|/|n|. Er entspricht der Länge des gemeinsamen Lots.
- Woran erkennt man, dass zwei Geraden windschief sind?
- Die Richtungsvektoren sind nicht parallel, also u × v ≠ 0. Gleichzeitig haben die Geraden keinen Schnittpunkt, was sich an AB·(u × v) ≠ 0 zeigt. Ist dieses Spatprodukt null, liegen beide Geraden in einer Ebene und schneiden sich.
- Wie findet man die Lotfußpunkte windschiefer Geraden?
- Man sucht Parameter s und t, sodass die Verbindung von A + s·u nach B + t·v senkrecht auf u und auf v steht. Das ergibt zwei lineare Gleichungen für s und t. Eingesetzt liefern sie die Lotfußpunkte, deren Abstand d ist.
- Was passiert in der App bei parallelen Geraden?
- Bei parallelen Richtungen ist n = 0, und es gibt keinen eindeutigen Lotfußpunkt. Die App zeigt einen Hinweis und berechnet den Abstand mit der Formel für Punkt und Gerade, |AB × u|/|u|.
Fach: Analytische Geometrie
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