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Koordinaten nach Descartes: Geometrie wird Algebra (3D)

Über diese App

Eine Kurve zugleich als Bild und als Gleichung: Gerade, Kreis, Parabel und Ellipse auf einer 3D-Koordinatentafel, die Gleichung als animierte Umformung. Punktprobe mit P (auf, innen, außen), Schnittpunkte mit einer Geraden durch Einsetzen, Diskriminante und Lösungsformel, schiefe Achsen wie bei Descartes (Mischglied mit cos ω) und der Schritt in den Raum: ohne z Zylinder und Ebene, mit z Kugel, Ellipsoid und Paraboloid.

Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.

Geometrie wird Algebra

Ein Koordinatensystem ordnet jedem Punkt der Ebene ein Zahlenpaar (x | y) zu. Eine Kurve wird dadurch zu einer Gleichung: Sie besteht genau aus den Punkten, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen. Der Kreis um M(a | b) mit Radius r hat nach dem Satz des Pythagoras die Gleichung (x − a)² + (y − b)² = r². Fragen der Geometrie werden so zu Rechenaufgaben, etwa die Suche nach Schnittpunkten: Man setzt die Geradengleichung in die Kurvengleichung ein und löst die entstehende Gleichung. René Descartes beschrieb diese Methode 1637 in „La Géométrie“, Pierre de Fermat fand sie zur selben Zeit unabhängig.

Was die App zeigt

Auf einer 3D-Koordinatentafel liegen Gerade, Kreis, Parabel oder Ellipse, daneben steht ihre Gleichung als animierte Umformung. Ein Punkt P lässt sich setzen und ziehen; die Punktprobe setzt seine Koordinaten ein und zeigt, ob er auf der Kurve, innen oder außen liegt. Mit einer zweiten Geraden g rechnet die App die Schnittpunkte Schritt für Schritt aus: Einsetzen, Ordnen, Diskriminante, Lösungsformel. Die Ansicht „Descartes“ stellt die y-Achse schräg, die Ansicht „Raum“ fügt eine dritte Achse z hinzu.

Selbst ausprobieren

Setze P auf den Kreis um M(1 | 1) mit Radius 2,5, etwa nach (2,5 | 3): Beide Seiten der Gleichung ergeben 6,25. Ein Schritt nach rechts, und die linke Seite wird größer, P liegt außerhalb. Schalte die Gerade g: y = 0,5x + 1 dazu und lass die Schnittpunkte berechnen, es sind S₁(3 | 2,5) und S₂(−1,4 | 0,3). Schiebe g nach oben, bis die Diskriminante negativ wird. Stelle dann den Achsenwinkel auf 60° und sieh, wie dieselbe Kurve eine längere Gleichung bekommt, oder wechsle in den Raum: Ohne z wird aus dem Kreis ein Zylinder, mit z eine Kugel.

Häufige Fragen

Wie prüft man, ob ein Punkt auf einer Kurve liegt?
Man setzt die Koordinaten des Punktes für x und y in die Kurvengleichung ein. Stimmen beide Seiten überein, liegt der Punkt auf der Kurve. Beim Kreis zeigt die Ungleichung mehr: Ist die linke Seite kleiner als r², liegt der Punkt innen, ist sie größer, außen.
Wie berechnet man die Schnittpunkte von Gerade und Kreis?
Man setzt die Geradengleichung y = mx + c für y in die Kreisgleichung ein. Es entsteht eine quadratische Gleichung in x. Ihre Diskriminante entscheidet: Ist sie positiv, gibt es zwei Schnittpunkte, ist sie null, berührt die Gerade den Kreis, ist sie negativ, verfehlt sie ihn. Die y-Werte liefert anschließend die Geradengleichung.
Warum heißen rechtwinklige Koordinaten kartesisch?
Sie sind nach René Descartes benannt, latinisiert Cartesius. Er zeigte 1637 in „La Géométrie“, wie man geometrische Probleme mit Gleichungen löst. Ein Achsenkreuz mit zwei Skalen zeichnete er noch nicht; er maß Strecken von einer Bezugslinie aus in einem festen Winkel, der nicht rechtwinklig sein musste. Das rechtwinklige Achsenkreuz setzte sich erst später durch.
Was zeigt die App „Koordinaten nach Descartes“?
Sie zeigt Gerade, Kreis, Parabel und Ellipse zugleich als Bild und als Gleichung. Du kannst einen Punkt setzen und prüfen, Schnittpunkte mit einer Geraden berechnen lassen, die Achsen schräg stellen und in den Raum wechseln. Ein Erklärmodus führt die wichtigsten Schritte vor.

Fach: Analytische Geometrie

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