Ansparformel – Sparen mit fester Rate
Über diese App
Sparplan mit konstanter Rate: jede Rate als Turm am Zahlungstag, Zinstreppe und kleiner Gauß n(n+1)/2 ohne Zinseszins, geometrische Reihe Kₙ = E·q·(qⁿ−1)/(q−1) mit Zinseszins, vorschüssig und nachschüssig, Kontostand, Barwert und Bausparvertrag.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Die Ansparformel
Wer jedes Jahr dieselbe Rate E einzahlt, hat am Ende die Summe aller einzeln aufgezinsten Raten. Mit q = 1 + p/100 wird die Rate E_k vorschüssig (Zahlung am Jahresanfang) n − k + 1 Jahre verzinst, nachschüssig (Jahresende) n − k Jahre. Mit Zinseszins ergibt sich die geometrische Reihe Kₙ = E · q · (qⁿ − 1)/(q − 1) bzw. K̂ₙ = E · (qⁿ − 1)/(q − 1). Ohne Zinseszins bekommt jede Rate pro Jahr dasselbe Zinsstück E · p/100, und es gilt Kₙ = n · E + E · p/100 · n(n + 1)/2: der kleine Gauß. Der Barwert B₀ = Kₙ/qⁿ ist die eine Einzahlung zu Beginn mit demselben Endstand.
Was die App zeigt
Oben steht jede Rate als Turm an ihrem Zahlungstag, seine Höhe ist ihr Wert am Ende: unten die Einzahlung, darüber die Zinsstücke als Treppe, oben die Zinsen auf Zinsen. Die älteste Rate ist der höchste Turm. Eine um 180° gedrehte Kopie der Treppe ergänzt sie zum Rechteck n × (n + 1). Unten verläuft der Kontostand als Treppenkurve, im Vergleich zur Kurve ohne Zinseszins. Beim Einsammeln fliegen die Türme in einen Gesamtstapel, sortiert in n · E, einfache Zinsen und Zinseszins. Das Panel Rechnung setzt alle Zahlen in die Formeln der Vorlesung ein.
Selbst ausprobieren
Stell Rate (100 bis 10.000 €), Zinssatz (0,5 bis 12 %) und Laufzeit (1 bis 30 Jahre) ein und schalte zwischen einfacher Verzinsung und Zinseszins sowie zwischen vorschüssig und nachschüssig um. Vorschüssig liegt der Endstand genau um den Faktor q höher. Zieh einen Turm, um die Rate zu ändern, oder zieh die Spitze des Gesamtstapels auf ein Sparziel: Dann rechnet die App die nötige Rate aus. Das Beispiel Bausparvertrag lädt 40.000 € nach 6 Jahren bei 3 % und liefert eine Rate von 6.183,90 €.
Häufige Fragen
- Wie lautet die Ansparformel bei vorschüssiger und nachschüssiger Zahlung?
- Mit q = 1 + p/100, Rate E und n Jahren gilt vorschüssig Kₙ = E · q · (qⁿ − 1)/(q − 1) und nachschüssig K̂ₙ = E · (qⁿ − 1)/(q − 1). Vorschüssig wird jede Rate ein Jahr länger verzinst, deshalb ist Kₙ = q · K̂ₙ. Bei 1.000 € pro Jahr, 5 % und 10 Jahren ergeben sich 13.206,79 € bzw. 12.577,89 €.
- Was hat der kleine Gauß mit einem Sparplan zu tun?
- Ohne Zinseszins bekommt jede Rate pro Jahr dasselbe Zinsstück E · p/100. Die älteste Rate sammelt n Stücke, die nächste n − 1 und so weiter, zusammen 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 Stücke. Damit ist Kₙ = n · E + E · p/100 · n(n + 1)/2, nachschüssig mit (n − 1)n/2.
- Was ist der Barwert eines Sparplans?
- Der Barwert B₀ ist der Betrag, den man zu Beginn einmal anlegen müsste, um mit Zinseszins auf dasselbe Endkapital zu kommen: B₀ = Kₙ/qⁿ. Für 1.000 € jährlich vorschüssig bei 5 % über 10 Jahre sind das 8.107,82 €, nachschüssig 7.721,73 €.
- Was kann ich in der App einstellen?
- Du stellst Rate, Zinssatz und Laufzeit ein, wählst einfache Verzinsung oder Zinseszins und vorschüssige oder nachschüssige Zahlung. Du kannst Türme und den Gesamtstapel direkt ziehen, die Gauß-Treppe zum Rechteck ergänzen, den Barwert einblenden und das Bauspar-Beispiel laden. Die App rechnet mit jährlichen Raten und Zinsgutschrift am Jahresende.
Fach: Finanzierung
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