Unterjährige Raten & konformer Jahresbetrag
Über diese App
Monatliche Raten mit jährlicher Zinsgutschrift: Zinsstreifen als Gauß-Treppe, konformer Jahresbeitrag und Restguthaben bei Entnahmen über n Jahre.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Unterjährige Zahlungen, jährliche Zinsen
Wird m-mal im Jahr der Betrag u eingezahlt und erst am Jahresende verzinst, rechnen Banken innerhalb des Jahres anteilig: Eine Rate, die k/m Jahre auf dem Konto lag, bringt u · k/m · p % Zinsen. Bei nachschüssiger Zahlung liegen die Raten (m−1)/m, (m−2)/m, …, 0 Jahre. Ihre Summe ist der kleine Gauß, (m−1)m/2 Teiljahre. Daraus folgt der konforme Jahresbeitrag K₁ = u · (m + p(m−1)/200): der eine Betrag am Jahresende, der dieselbe Wirkung hat wie die m Raten. Mit ihm gilt über n Jahre die Rentenformel Kₙ = K₁ · (qⁿ − 1)/(q − 1) mit q = 1 + p/100.
Was die App zeigt
Die linke Karte zeigt ein Jahr: je Rate eine Zeile mit der Zahlung und einem Zinsstreifen bis zum Jahresende. Die Streifen bilden eine Treppe. Eine gedrehte Kopie ergänzt sie zum Rechteck aus m · (m−1) Feldern, die Treppe ist genau die Hälfte. Rechts daneben stapeln sich die Raten zur Säule, oben sitzt das Zinsstück. Die rechte Karte zeigt die Jahre: Jede Säule besteht aus gleich großen Blöcken K₁ plus den Zinsen. Im Modus Entnahme hebt man zu Beginn jedes Teiljahrs den Betrag a ab; dann gilt (m+1) statt (m−1) und die konforme Annuität a · (m + (m+1)p/200).
Selbst ausprobieren
Spiel das Jahr ab und beobachte, wie die Raten eintreffen und ihre Streifen wachsen. Klick eine Zeile an, um die Zinsen dieser einen Rate zu sehen, und zieh die Oberkante des Zinsstücks, um den Zinssatz zu ändern. Wechsle zwischen 2, 4 und 12 Teiljahren und vergleiche die Treppen. Ändere die Laufzeit: Die Zahl der Blöcke wächst, ihre Größe bleibt. Das Panel Rechnung setzt alle Zahlen in die Formeln ein und vergleicht mit Zinseszins je Monat.
Häufige Fragen
- Was ist ein konformer Jahresbeitrag?
- Der konforme Jahresbeitrag ist der einmalige Betrag am Jahresende, der dieselbe Wirkung hat wie m gleiche unterjährige Raten u mit anteiliger Verzinsung. Für nachschüssige Raten gilt K₁ = u · (m + p(m−1)/200). Bei 100 € monatlich und 6 % sind das 1.233 €, nicht 1.200 €.
- Warum steht (m−1)/2 in der Formel für unterjährige Einzahlungen?
- Die Raten liegen (m−1)/m, (m−2)/m, …, 0 Jahre auf dem Konto. Die Summe 1 + 2 + … + (m−1) ist nach dem kleinen Gauß (m−1)m/2. Multipliziert mit u · p/(m · 100) ergibt das die Zinsen Z₁ = u · p(m−1)/200.
- Wie berechnet man das Restguthaben bei monatlichen Entnahmen?
- Hebt man zu Beginn jedes der m Teiljahre den Betrag a ab, gilt nach einem Jahr R₁ = K · q − a · (m + (m+1)p/200) und nach n Jahren Rₙ = Kqⁿ − a · (m + (m+1)p/200) · (qⁿ − 1)/(q − 1). Der Ausdruck a · (m + (m+1)p/200) ist die konforme Annuität.
- Was kann ich in der App einstellen?
- Du wählst Einzahlung (nachschüssig) oder Entnahme (vorschüssig), den Betrag je Teiljahr, das Startkapital, die Zahl der Teiljahre von 1 bis 12, den Jahreszins und die Laufzeit bis 30 Jahre. Die App verzinst innerhalb des Jahres anteilig und schreibt am Jahresende gut.
Fach: Finanzierung
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