Arithmetisch gegen geometrisch
Über diese App
Arithmetische und geometrische Folge als Balkenpaare in drei Szenarien der Vorlesung: Produktion mit +d oder +p %, lineare gegen geometrisch degressive Abschreibung, Zins ohne und mit Zinseszins. Differenz-Klammer und Quotient-Klammer am gewählten Jahr, zwei Typ-Test-Karten, deren waagerechte Spur den Typ verrät, Folienaufgaben mit Lösung und ein Quiz. Widerlegt „die degressive Abschreibung erreicht irgendwann null“.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Konstante Differenz oder konstanter Quotient
Eine Folge heißt arithmetisch, wenn die Differenz aufeinanderfolgender Glieder konstant ist: aₙ = a + (n − 1) · d. Sie heißt geometrisch, wenn der Quotient konstant ist: aₙ = a · qⁿ⁻¹. Die Anwendungen der Finanzmathematik sind fast immer eine der beiden: Produktion mit fester Zunahme d oder mit p % pro Jahr (q = 1 + p/100), lineare Abschreibung Bₙ = K − n · K/N oder geometrisch degressive Abschreibung Rₙ = K · qⁿ mit q = 1 − p/100, Zinsen ohne Zinseszins Kₙ = K(1 + n · p/100) oder mit Zinseszins Kₙ = K · qⁿ.
Was die App zeigt
Für jedes Jahr steht ein Balkenpaar: links die arithmetische, rechts die geometrische Folge. Die Stufe zum Vorjahr ist markiert. Am gewählten Jahr misst eine Klammer die Differenz und eine zweite den Quotienten. Zwei Karten daneben tragen Differenz und Quotient zum Vorjahr über alle Jahre auf. Bei der einen Folge liegt die Differenz waagerecht, bei der anderen der Quotient, und daran erkennt man den Typ. Ein Ring markiert den Gleichstand, bei der Abschreibung ein zweiter Ring den Nullpunkt der linearen Abschreibung nach N Jahren.
Selbst ausprobieren
Wechsle zwischen Produktion, Abschreibung und Zins und ziehe die Griffe auf den Balken: Der linke ändert d oder die Nutzungsdauer N, der rechte den Prozentsatz p. Die Formeln stehen mit eingesetzten Zahlen im Panel, die Tabelle zeigt Werte, Differenzen und Quotienten. Lade die Aufgaben der Vorlesung: 15 % Abschreibung über 10 Jahre (Restwert 19,69 %), der Satz für 10 % Restwert nach 10 Jahren (20,57 %) oder die Dauer, bis 1000 € bei 20 % unter 100 € fallen (11 Jahre). Im Quiz bestimmst du den Typ von Zahlenfolgen.
Häufige Fragen
- Was ist der Unterschied zwischen arithmetischer und geometrischer Folge?
- Bei einer arithmetischen Folge kommt von Glied zu Glied immer derselbe Betrag d dazu, etwa 3, 5, 7, 9 mit d = 2. Bei einer geometrischen Folge wird immer mit demselben Faktor q multipliziert, etwa 3, 6, 12, 24 mit q = 2. Zum Prüfen bildet man die Differenzen und die Quotienten benachbarter Glieder; was konstant bleibt, bestimmt den Typ.
- Warum erreicht die geometrisch degressive Abschreibung nie null?
- Bei der degressiven Abschreibung wird jedes Jahr ein fester Prozentsatz p vom Restwert abgeschrieben, sodass Rₙ = K · qⁿ mit q = 1 − p/100 gilt. Eine Potenz einer positiven Zahl ist nie null, der Restwert wird also beliebig klein, bleibt aber positiv. Die lineare Abschreibung Bₙ = K − n · K/N erreicht dagegen nach genau N Jahren den Wert null.
- Wie berechnet man den Abschreibungssatz für einen vorgegebenen Restwert?
- Aus R_N = K · q^N folgt p = 100 · (1 − ᴺ√(R_N/K)). Soll ein Gut in 10 Jahren auf 10 % seines Anschaffungswerts abgeschrieben werden, ergibt sich p = 100 · (1 − ¹⁰√0,1) ≈ 20,57 % pro Jahr. Ist umgekehrt p vorgegeben, liefert N = (ln R_N − ln K) / ln(1 − p/100) die Dauer, aufgerundet auf ganze Jahre.
- Was kann ich in der App einstellen?
- Du wählst das Szenario Produktion, Abschreibung oder Zins, stellst Startwert, Zunahme d oder Nutzungsdauer N, Prozentsatz p, den angezeigten Zeitraum und das Jahr n ein, per Regler oder durch Ziehen an den Balken. Fünf Aufgaben aus der Vorlesung lassen sich mit Lösung laden. Ein Quiz zeigt zufällige Folgen, deren Typ du bestimmst.
Fach: Finanzierung
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