Geometrische Reihe – der Beweis
Über diese App
Sₙ = 1 + q + … + qⁿ⁻¹ als Balken: mal q, eine Stelle weiter, abziehen – die Mitte hebt sich auf, nur qⁿ und 1 bleiben. Sechs scrubbare Schritte bis Sₙ = (qⁿ − 1)/(q − 1), Sonderfall q = 1, q < 1 und Sparplan-Brücke.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Die Summenformel der geometrischen Reihe
Die endliche geometrische Reihe ist Sₙ = 1 + q + q² + … + qⁿ⁻¹, die Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Folge. Für q ≠ 1 gilt Sₙ = (qⁿ − 1)/(q − 1), für q = 1 ist Sₙ = n. Der Beweis passt in eine Zeile: Multipliziert man Sₙ mit q, erhält man q + q² + … + qⁿ. Zieht man Sₙ davon ab, heben sich alle Glieder von q bis qⁿ⁻¹ auf, und es bleibt q·Sₙ − Sₙ = qⁿ − 1, also Sₙ(q − 1) = qⁿ − 1. In der Finanzmathematik ist q = 1 + p/100 der Zinsfaktor.
Was die App zeigt
Die Glieder stehen als Balken nebeneinander, jeder q-mal so hoch wie der vorige. In sechs Schritten wird jeder Balken mit q multipliziert und rückt dabei eine Stelle weiter, die neue Reihe q·Sₙ legt sich über Sₙ, gleich hohe Paare heben sich auf, und nur die Enden qⁿ und 1 bleiben übrig. Eine zweite Karte legt die Glieder als Strecken aneinander: Der Rest qⁿ − 1, gestreckt um 1/(q − 1), ist genau so lang wie Sₙ. Die Rechnung läuft mit den eingestellten Zahlen mit.
Selbst ausprobieren
Zieh einen Balken hoch oder runter, um q zwischen 0,5 und 2 zu ändern, und zieh den Griff, um bis zu zwölf Glieder zu bekommen. Mit q = 1 siehst du, warum die Formel dort versagt: Beide Enden sind gleich hoch, der Rest ist null, und durch q − 1 = 0 lässt sich nicht teilen. Mit q = 0,8 werden Rest und Nenner negativ, der Streifen kippt beim Teilen. Das Beispiel Sparen 5 % zeigt die Brücke zum Sparplan: Zehn jährliche Raten von 1.000 € ergeben nachschüssig 12.577,89 €.
Häufige Fragen
- Wie beweist man die Summenformel der geometrischen Reihe?
- Man schreibt Sₙ = 1 + q + … + qⁿ⁻¹ und q·Sₙ = q + q² + … + qⁿ untereinander und subtrahiert. Alle Glieder von q bis qⁿ⁻¹ heben sich auf, übrig bleibt q·Sₙ − Sₙ = qⁿ − 1. Ausklammern ergibt Sₙ(q − 1) = qⁿ − 1, und für q ≠ 1 folgt durch Teilen Sₙ = (qⁿ − 1)/(q − 1).
- Warum gilt die Formel nicht für q = 1?
- Für q = 1 ist der Nenner q − 1 gleich null. Die Gleichung Sₙ(q − 1) = qⁿ − 1 wird dann zu 0 = 0 und sagt nichts über Sₙ aus. Die Summe lässt sich direkt zählen: Alle Glieder sind 1, also ist Sₙ = n.
- Wo braucht man die geometrische Reihe in der Finanzmathematik?
- Bei Sparplänen, Renten und Tilgung werden Zahlungen über mehrere Jahre mit dem Zinsfaktor q = 1 + p/100 aufgezinst. Zahlt man n Jahre lang am Jahresende den Betrag E ein, ist das Endkapital E·Sₙ = E·(qⁿ − 1)/(q − 1); bei Einzahlung am Jahresanfang kommt ein weiterer Faktor q hinzu.
- Was kann ich in der App einstellen?
- Du wählst q zwischen 0,5 und 2 und n zwischen 1 und 12, per Regler oder direkt an den Balken. Der Beweis läuft in sechs Schritten, die du einzeln anwählen oder mit dem Ablauf-Regler scrubben kannst. Beispiele für Wachstum, Sparen mit 5 %, Abnahme und q = 1 sind vorbereitet.
Fach: Finanzierung
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