Ewige Rente & Kapitalverzehr
Über diese App
Wie lange reicht ein Kapital? Kontostand, Zinsen und Entnahme je Periode, ewige Rente a_ewig = K(q − 1) und Laufzeit N = ln(A/(A − S(q − 1)))/ln q mit senkrechter Asymptote, letzte Abhebung, jährlich oder monatlich, vor- und nachschüssig.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Von den Zinsen leben
Ein Kapital K bringt je Zinsperiode die Zinsen K · (q − 1) mit q = 1 + p/100. Hebt man genau diesen Betrag ab, steht das Konto nach jeder Periode wieder bei K: Das ist die ewige Rente. Hebt man mehr ab, sinkt das Kapital, mit ihm sinken die Zinsen, und das Konto ist nach endlicher Zeit leer. Kapitalverzehr ist die Tilgungsrechnung mit vertauschten Rollen: Das Kapital ist die Schuld S der Bank, die Abhebung die Annuität A. Deshalb gilt die Laufzeitformel N = ln(A/(A − S(q − 1)))/ln q.
Was die App zeigt
Oben stehen die Kontostände Rₙ je Periode als Balken mit einer Linie auf Höhe K. Darunter wachsen die Zinsen je Periode als Balken gegen die Entnahme-Linie; die Fläche dazwischen ist das, was aus dem Kapital kommt. Wird das Konto leer, markiert ein Ring die letzte, kleinere Abhebung. Die zweite Karte zeigt die Laufzeit N als Funktion der Entnahme a, mit einer senkrechten Asymptote bei a_ewig. Das Panel Rechnung setzt alle Zahlen in die Formeln der Vorlesung ein.
Selbst ausprobieren
Lade das Beispiel Kapitalverzehr: 50.000 € zu 0,5 % im Monat, 1.000 € am Monatsende. Das reicht 57,68 Monate, im 58. Monat bleiben 680,68 €. Zieh die Entnahme-Linie auf 250 €: Die Balken liegen flach auf der Linie K. Schon bei 260 € kippt die Linie, und das Konto ist nach 653 Monaten leer. Im Beispiel ewige Rente mit 100.000 € zu 6 % im Jahr und monatlicher Abhebung zu Beginn ergibt sich a_ewig = 484,26 €.
Häufige Fragen
- Was ist eine ewige Rente?
- Eine ewige Rente ist eine regelmäßige Auszahlung, die genau den Zinsen des Kapitals entspricht. Das Kapital bleibt dadurch unverändert, die Zahlung kann unbegrenzt weiterlaufen. Bei jährlicher Zahlung am Jahresende beträgt sie K · (q − 1), bei 100.000 € und 5 % also 5.000 € im Jahr. Umgekehrt ist K = a/(q − 1) der Barwert der ewigen Rente.
- Wie lange reicht mein Kapital bei regelmäßiger Entnahme?
- Die Laufzeit folgt aus der Tilgungsformel N = ln(A/(A − K(q − 1)))/ln q. Dabei ist K das Kapital, A die Entnahme je Periode und q = 1 + p/100. Ist A nicht größer als die Zinsen K(q − 1), reicht das Kapital ewig. Bei 50.000 €, 0,5 % Zins im Monat und 1.000 € Entnahme ergibt sich N = 57,68 Monate.
- Wie berechnet man die ewige Rente bei monatlicher Auszahlung und Jahreszins?
- Bei m Auszahlungen im Jahr und anteiliger Verzinsung wirken die Zahlungen wie eine Jahresannuität a · (m + (m ± 1)p/200), mit Plus bei Zahlung zu Beginn und Minus am Ende der Teilperiode. Setzt man sie gleich den Jahreszinsen K · p/100, folgt a_ewig = K · p/(100 · (m + (m ± 1)p/200)). Für 100.000 € zu 6 % monatlich vorschüssig sind das 484,26 €.
- Was kann ich in der App einstellen?
- Du wählst jährliche Entnahme, monatliche Entnahme mit Monatszins oder monatliche Entnahme mit Jahreszins, dazu vorschüssig oder nachschüssig, und stellst Kapital, Zinssatz und Entnahme ein. Die Entnahme ziehst du direkt im Diagramm, nahe der ewigen Rente rastet sie ein. Zwei Beispiele aus der Vorlesung lassen sich per Knopf laden.
Fach: Finanzierung
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