Unterjährige Verzinsung & Effektivzins
Über diese App
Was bringt es, wenn die Bank die Zinsen öfter im Jahr gutschreibt? Der Kontostand wächst als Treppe aus Zinsstücken, jedes etwas größer als das vorige. Ein Zinsstapel vergleicht m = 1 mit m Terminen und zeigt den kleinen Mehrertrag. Die zweite Karte trägt den effektiven Jahreszins p_eff = 100(1 + p/(m·100))^m − 100 über m auf: Er steigt, sättigt aber an der Grenze 100(e^{p/100} − 1) der stetigen Verzinsung. Beispiel der Folie (1000 €, 6 %, 10 Jahre) und Bernoulli-Grenzwert e. Widerlegt „monatlich bringt 12-mal so viel“ und „p_eff wächst unbegrenzt“.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Zinsen mehrmals im Jahr
Bei unterjähriger Verzinsung wird der Jahreszins p auf m Termine verteilt: Nach jeweils 1/m Jahren werden p/m % gutgeschrieben und ab dann mitverzinst. Nach n Jahren gilt Kₙ = K · (1 + p/(m · 100))^(m · n), mit m = 4 für vierteljährlich und m = 12 für monatlich. Der effektive Jahreszins p_eff ist der Zinssatz, der bei einmaliger Gutschrift im Jahr dasselbe Ergebnis liefert: 1 + p_eff/100 = (1 + p/(m · 100))^m. Er ist größer als p, weil jedes spätere Zinsstück auf einen schon gewachsenen Kontostand gerechnet wird.
Was die App zeigt
Die linke Karte zeigt den Kontostand als Treppe: Jeder Sprung ist ein Zinsstück, daneben die jährliche Treppe und die stetige Grenzkurve K · e^(pt/100). Ein Zinsstapel legt die Stücke übereinander und hebt den Mehrertrag gegenüber jährlicher Verzinsung hervor. Die rechte Karte trägt p_eff über m auf einer logarithmischen Achse auf, mit den Punkten m = 1, 2, 4, 12, 52 und 365, der nominalen Linie p und der Asymptote 100 · (e^(p/100) − 1). Im Panel Rechnung stehen q, Kₙ und p_eff mit eingesetzten Zahlen.
Selbst ausprobieren
Wähle m über die Pills 1, 2, 4, 12, 365 und ∞ oder ziehe den Punkt in der rechten Karte. Mit „m verdoppeln“ verfeinert sich die Treppe Schritt für Schritt und endet etwas höher, bleibt aber unter der e-Kurve. Ziehe den Endpunkt der Treppe, um den Zinssatz zu ändern. Das Beispiel „10 Jahre“ rechnet 1000 € zu 6 %: jährlich 1790,85 €, monatlich 1819,40 €, stetig 1822,12 €. Das Beispiel Bernoulli mit 1 € und 100 % führt auf die Eulersche Zahl e = 2,718…
Häufige Fragen
- Wie berechnet man den effektiven Jahreszins bei monatlicher Verzinsung?
- Bei nominalem Jahreszins p und m = 12 Gutschriften gilt p_eff = 100 · (1 + p/1200)^12 − 100. Für p = 6 % ergibt das 6,168 %. Der Wert ist größer als p, weil die monatlich gutgeschriebenen Zinsen im restlichen Jahr mitverzinst werden.
- Bringt monatliche Verzinsung zwölfmal so viel Zinsen?
- Nein. Jede Gutschrift beträgt nur p/12 %, zusammen ergibt das knapp p % plus Zinsen auf Zinsen. Bei 1000 € und 6 % sind es im ersten Jahr 61,68 € statt 60 €, also 1,68 € mehr.
- Was ist stetige Verzinsung?
- Stetige Verzinsung ist der Grenzfall unendlich vieler Zinstermine. Weil (1 + p/(m · 100))^m für m → ∞ gegen e^(p/100) strebt, wächst das Kapital nach K · e^(pt/100). Der effektive Jahreszins erreicht dann seine obere Grenze 100 · (e^(p/100) − 1), bei 6 % sind das 6,184 %.
- Was kann ich in der App einstellen?
- Du stellst Kapital K, Zinssatz p, Laufzeit n und die Zahl der Zinstermine m (1 bis 1000 oder stetig) ein, per Regler, Pills oder direkt durch Ziehen in den Karten. Die App rechnet nach der Formel Kₙ = K · (1 + p/(m · 100))^(m · n) ohne Gebühren oder Steuern.
Fach: Finanzierung
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