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Topologie der Buchstaben: Welche sind gleich?

Über diese App

Großbuchstaben als dicke Drähte: Homöomorphe Buchstaben biegen sich weich ineinander (A→R, L→I), Enden, Verzweigungen und Löcher bleiben als Marker sichtbar. Vergleiche zeigen, warum O und Q verschieden sind; im Sortierspiel und mit dem eigenen Namen zerfällt das Alphabet in acht Klassen-Inseln.

Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.

Wann sind zwei Buchstaben homöomorph?

Betrachtet man Großbuchstaben als dünne Drähte, fragt die Topologie nur nach ihrer Gestalt. Zwei Buchstaben heißen homöomorph, wenn man den einen stetig in den anderen verformen kann: biegen, dehnen und stauchen ist erlaubt, reißen und kleben nicht. Dabei bleiben drei Dinge gleich: die Zahl der Löcher, die Zahl der Enden und die Verzweigungspunkte, an denen drei oder mehr Striche zusammenkommen. Ecken zählen nicht, ein L lässt sich zu einem I geradebiegen. A und R haben beide ein Loch, zwei Enden und zwei Verzweigungen und sind homöomorph. O und Q sehen ähnlich aus, doch Q hat ein Ende und eine Verzweigung.

Was die App zeigt

Jeder Buchstabe ist ein dicker Draht mit Markern: Ringe an den Enden, Punkte an den Verzweigungen, eine gefüllte Fläche in jedem Loch. Darunter steht der Steckbrief als Symbolreihe, ganz ohne Zahlen. Tippt man einen zweiten Buchstaben an, fragt eine Karte zuerst „Was passiert gleich?“, damit die Klasse abstimmen kann. Gehören beide zur selben Klasse, biegt sich der Draht weich in den neuen Buchstaben, und die Marker wandern mit. Sonst stehen beide nebeneinander mit einem Ungleichzeichen, und die abweichenden Marker blinken. Am Draht kann man ziehen wie an Gummi.

Selbst ausprobieren

Im Modus Sortieren ziehst du alle 26 Buchstaben auf acht weiche Inseln, deren Wappen die Urform der Klasse zeigt, zum Beispiel Ring, Lasso, Dreibein oder Acht. Prüfen markiert falsch gelegte Buchstaben, Lösung zeigen lässt alle auf ihre Insel fliegen. So wird sichtbar, dass „ist homöomorph zu“ eine Äquivalenzrelation ist und das Alphabet in Klassen zerlegt, eine Partition. Im Modus Dein Name zerfällt ein eingetipptes Wort in seine Klassen. Die Herausforderung stellt Aufgaben zum Zurufen: einen Partner finden, den Fremden unter vier Buchstaben erkennen, den Buchstaben ohne Partner suchen.

Häufige Fragen

Welche Buchstaben des Alphabets sind homöomorph?
In einer serifenlosen Schrift ergeben sich acht Klassen: C G I J L M N S U V W Z sind eine Linie, E F T Y ein Dreibein, X ein Kreuz, H und K eine Doppelgabel, D und O ein Ring, P und Q ein Ring mit einem Stiel, A und R ein Ring mit zwei Stielen und B eine Acht. In anderen Schriften kann sich die Einteilung ändern, zum Beispiel beim K oder beim Q.
Warum sind O und Q nicht homöomorph?
Q hat ein Ende und einen Punkt, an dem drei Striche zusammenkommen. O hat beides nicht. Ein Ende kann beim Biegen nicht entstehen, man müsste den Ring aufreißen. Darum lässt sich O nicht in Q verformen, obwohl beide ein Loch haben.
Warum ist homöomorph eine Äquivalenzrelation?
Jede Figur ist zu sich selbst homöomorph, man verformt nichts. Lässt sich A in R biegen, dann auch R zurück in A. Und wer A in R und R in einen dritten Buchstaben biegen kann, kann beides nacheinander ausführen. Reflexiv, symmetrisch und transitiv ergibt eine Äquivalenzrelation, deren Klassen eine Partition bilden.
Was kann ich in der App ausprobieren?
Buchstaben ineinander biegen und vorher abstimmen, zwei Buchstaben mit ihren Steckbriefen vergleichen, am Draht ziehen, das ganze Alphabet auf Klassen-Inseln sortieren, den eigenen Namen in Klassen zerfallen lassen und Aufgaben zum Zurufen lösen.

Fach: Mathe ohne Zahlen

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