Zuordnungsmaschine: injektiv, surjektiv, bijektiv
Über diese App
Funktionen als Pfeilbild ohne Zahlen: Pfeile zwischen Figuren ziehen, Ringe zählen die Treffer, drei Lampen zeigen injektiv, surjektiv, bijektiv. „Umdrehen“ kehrt alle Pfeile um – nur bei einer Bijektion entsteht wieder eine Funktion. Mit Vorhersage-Karte, Rundreise g∘f = id, Verkettung, Gäste und Stühle und Beweis-Modus in beide Richtungen.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Funktion, injektiv, surjektiv, bijektiv
Eine Funktion f von A nach B ordnet jedem Element von A genau ein Element von B zu. Im Pfeilbild geht aus jedem Element von A genau ein Pfeil. Injektiv heißt: In jedes Element von B kommt höchstens ein Pfeil, zwei verschiedene Elemente landen nie am selben Ziel. Surjektiv heißt: In jedes Element von B kommt mindestens ein Pfeil. Bijektiv heißt beides, also genau ein Pfeil je Ziel. Genau dann hat jedes b genau ein Urbild, und es gibt eine Umkehrabbildung g mit g∘f = id auf A und f∘g = id auf B.
Was die App zeigt
Zwei Ufer mit Figuren statt Zahlen: links A, rechts B, dazwischen Pfeile. An jedem Ziel sitzt pro ankommendem Pfeil ein Ring, doppelt getroffene Ziele und leere Ziele leuchten auf. Drei Lampen zeigen, ob die Funktion injektiv, surjektiv oder bijektiv ist. Der Knopf Umdrehen dreht alle Pfeile animiert um: Nur bei einer Bijektion entsteht wieder eine Funktion. Dazu kommen eine Rundreise für g∘f = id, die Verkettung A nach B nach C und das Szenario Gäste und Stühle.
Selbst ausprobieren
Ziehe Pfeile von A nach B, ändere die Größe der Mengen und lade Vorlagen wie nur injektiv oder nur surjektiv. Vor dem Umdrehen fragt die App: Was passiert gleich? So kann eine Klasse abstimmen. Im Beweis-Modus läuft der Satz bijektiv genau dann, wenn genau ein Urbild, genau dann, wenn umkehrbar, in zehn benannten Schritten in beide Richtungen ab. Unter Üben warten Aufträge wie Mach f injektiv, aber nicht surjektiv, und auch unmögliche, bei denen die richtige Antwort Geht nicht ist.
Häufige Fragen
- Was ist der Unterschied zwischen injektiv und surjektiv?
- Beides liest man an der Zielmenge ab. Injektiv heißt, dass jedes Ziel höchstens einmal getroffen wird: Aus f(a) = f(a′) folgt a = a′. Surjektiv heißt, dass jedes Ziel mindestens einmal getroffen wird. Eine Funktion kann beides sein, nur eines davon oder keines.
- Warum ist nur eine bijektive Funktion umkehrbar?
- Dreht man alle Pfeile um, muss aus jedem Ziel genau ein Pfeil zurückführen, damit wieder eine Funktion entsteht. Wurde ein Ziel doppelt getroffen, gäbe es zwei Wege zurück; blieb ein Ziel leer, gäbe es keinen. Genau ein Pfeil je Ziel heißt bijektiv.
- Was bedeutet g∘f = id?
- Erst f, dann g ausführen bringt jedes Element von A wieder zu sich selbst zurück. Aus g∘f = id auf A folgt, dass f injektiv ist, aus f∘g = id auf B, dass f surjektiv ist. Gilt beides, ist g die Umkehrabbildung von f.
- Was kann ich in der App ausprobieren?
- Pfeile ziehen und die Lampen beobachten, Pfeile umdrehen und vorher abstimmen, Rundreisen starten, zwei Funktionen verketten, mit Gästen und Stühlen Paare bilden, den Beweis Schritt für Schritt ansehen und Aufgaben lösen, auch unmögliche.
Fach: Mathe ohne Zahlen
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