Explizit oder rekursiv: die Folgentreppe
Über diese App
Arithmetische Folge als Treppe aus Sockel a und Blöcken d: rekursiv Stufe für Stufe (Rückfrage bis Stufe 1, dann hinaufspringen, ein Mond je Sprung) gegen explizit aₙ = a + (n−1)·d. Bis Stufe n sind es n − 1 Sprünge; ein Geisterblock widerlegt „a + n·d“.
Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.
Zwei Formeln für dieselbe Folge
Eine arithmetische Folge wächst immer um denselben Betrag d. Rekursiv schreibt man aₙ = aₙ₋₁ + d mit dem Startwert a₁ = a: Jedes Glied entsteht aus seinem Vorgänger. Explizit schreibt man aₙ = a + (n − 1) · d: Man setzt die Nummer n ein und erhält das Glied sofort. Beide Formeln beschreiben dieselbe Folge, etwa eine Produktion, die im ersten Jahr a Tonnen beträgt und jedes Jahr um d Tonnen steigt.
Was die App zeigt
Die Folge steht als Treppe da. Jede Säule hat unten den Sockel a und darüber einen Block d für jeden Schritt, Stufe 1 ist nur der Sockel. Beim rekursiven Weg läuft eine Rückfrage-Kette von der gesuchten Stufe hinunter bis zur Stufe 1, danach springt eine Kugel Stufe für Stufe hinauf, und über jedem Sprung steht ein Mond. Beim expliziten Weg werden die Blöcke über dem Sockel gezählt. Bis Stufe 4 sind es drei Blöcke und drei Sprünge, nicht vier.
Selbst ausprobieren
Stelle Sockel a, Stufenhöhe d und die Zahl der Stufen ein und tippe die gesuchte Säule an. Vergleiche den rekursiven Weg bei Stufe 4 und bei Stufe 18: Rekursiv wächst der Aufwand mit n, explizit bleibt es ein einziges Einsetzen. Der Knopf „Fehler a + n·d“ zeigt mit einem Geisterblock, wohin der typische Zählfehler führt. Im Panel Formel stehen beide Formeln mit eingesetzten Zahlen.
Häufige Fragen
- Was ist der Unterschied zwischen expliziter und rekursiver Darstellung einer Folge?
- Die rekursive Darstellung beschreibt ein Glied durch seinen Vorgänger, bei der arithmetischen Folge aₙ = aₙ₋₁ + d mit a₁ = a. Die explizite Darstellung gibt das Glied direkt als Formel in n an, hier aₙ = a + (n − 1) · d. Rekursiv braucht man alle Glieder davor, explizit genügt das Einsetzen von n.
- Warum steht in der Formel der arithmetischen Folge n − 1?
- Das erste Glied ist schon a, dort kommt noch kein d dazu. Bis zum n-ten Glied macht man deshalb nur n − 1 Schritte. Wie beim Zählen der Nächte: Von Tag 1 bis Tag 4 schläft man dreimal. Wer a + n · d rechnet, landet ein Glied zu hoch.
- Wie lautet die rekursive Formel einer geometrischen Folge?
- Bei einer geometrischen Folge wird statt eines festen Betrags mit einem festen Faktor q multipliziert: aₙ = q · aₙ₋₁ mit a₁ = a. Die explizite Form ist aₙ = a · qⁿ⁻¹, ebenfalls mit n − 1 im Exponenten, weil das erste Glied a noch nicht multipliziert wird.
- Was kann ich in der App einstellen?
- Du stellst Sockel a, Stufenhöhe d, die Zahl der gezeigten Stufen und die gesuchte Stufe n ein. Zwei Knöpfe spielen den rekursiven und den expliziten Weg ab, ein dritter zeigt den Fehler a + n · d. Das Formel-Panel rechnet beide Wege mit Zahlen vor.
Fach: Finanzierung
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