Was ist der Unterschied zwischen Folge und Reihe?

Eine Folge listet einzelne Glieder a₁, a₂, a₃, … auf. Eine Reihe addiert sie auf: sₙ = a₁ + … + aₙ. Die Werte s₁, s₂, s₃, … bilden wieder eine Folge, die Folge der Partialsummen. Bei a = 3 und d = 2 ist das siebte Glied 15, die siebte Partialsumme 63.

Wie berechnet man eine endliche arithmetische Reihe?

Mit dem kleinen Gauß: sₙ = n · (a₁ + aₙ)/2, also Anzahl der Glieder mal Mittelwert aus erstem und letztem Glied. Gleichwertig ist sₙ = n · a + d · (n − 1) · n/2. Für a = 3, d = 2 und n = 7 ergibt das 7 · 9 = 63.

Warum wächst die Reihe schneller als die Folge?

Jede Partialsumme enthält alle bisherigen Glieder. Bei einer arithmetischen Folge mit d > 0 wächst das Glied linear in n, die Partialsumme aber quadratisch, weil der Term d · (n − 1) · n/2 ein n² enthält. Im Beispiel ist der Turm im Jahr 21 schon 483 hoch, die Stufe nur 43.

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Treppe und Turm: Folge und Reihe

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Folge gegen Reihe als Treppe und Turm: Die Stufen aₖ = a + (k−1)d stehen unten, darüber fliegen die Stufen 1 … n hoch und stapeln sich zum Turm sₙ = a₁ + … + aₙ. Die Turmspitzen bilden wieder eine Folge (Partialsummen), Sockel n·a und Zuwachs d·(n−1)n/2 sind einfärbbar, dazu kleiner Gauß und geometrischer Modus. Widerlegt „sₙ ist der Wert im Jahr n“.

Mit Erklärmodus: Ein KI-Tutor führt dich durch die App, zeigt in der Szene, worauf es ankommt, und beantwortet deine Fragen.

Folge oder Reihe?

Eine Folge ist eine Liste einzelner Werte a₁, a₂, a₃, … – zum Beispiel die Produktion in jedem Jahr. Bei einer arithmetischen Folge kommt jedes Jahr derselbe Betrag d dazu: aₙ = a + (n − 1) · d. Eine Reihe ist die Folge der Teilsummen (Partialsummen) sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ, also die Gesamtproduktion bis zum Jahr n. Eine Reihe ist damit selbst eine Folge, nur eine besondere. Mit dem kleinen Gauß gilt für die endliche arithmetische Reihe sₙ = n · a + d · (n − 1) · n/2 = n · (a₁ + aₙ)/2.

Was die App zeigt

Unten steht die Treppe: Stufe k ist so hoch wie aₖ. Darüber steht für jedes Jahr ein Turm. Wählt man ein Jahr, fliegen die Stufen 1 bis n nacheinander nach oben und stapeln sich zum Turm sₙ, im selben Maßstab. Punkte auf den Turmspitzen zeigen, dass die Turmhöhen wieder eine Folge bilden; sie wachsen quadratisch, während die Stufen nur gleichmäßig wachsen. Auf Wunsch wird der Sockel a jeder Stufe eingefärbt: Der Turm zerfällt dann in n · a und d · (1 + 2 + … + (n − 1)).

Selbst ausprobieren

Tippe auf eine Stufe oder einen Turm und sieh zu, wie der Turm entsteht. Mit den Reglern stellst du erste Stufe a, Zuwachs d und die Zahl der Jahre ein. Das Beispiel Produktion (a = 3, d = 2) ergibt im Jahr 7 eine Stufe von 15 und einen Turm von 63. Das Beispiel 1 + … + n zeigt die Dreieckszahlen n(n + 1)/2, der geometrische Modus die geometrische Reihe a · (qⁿ − 1)/(q − 1). Das Panel Rechnung setzt alle Zahlen in die Formeln ein.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Folge und Reihe?: Eine Folge listet einzelne Glieder a₁, a₂, a₃, … auf. Eine Reihe addiert sie auf: sₙ = a₁ + … + aₙ. Die Werte s₁, s₂, s₃, … bilden wieder eine Folge, die Folge der Partialsummen. Bei a = 3 und d = 2 ist das siebte Glied 15, die siebte Partialsumme 63.
Wie berechnet man eine endliche arithmetische Reihe?: Mit dem kleinen Gauß: sₙ = n · (a₁ + aₙ)/2, also Anzahl der Glieder mal Mittelwert aus erstem und letztem Glied. Gleichwertig ist sₙ = n · a + d · (n − 1) · n/2. Für a = 3, d = 2 und n = 7 ergibt das 7 · 9 = 63.
Warum wächst die Reihe schneller als die Folge?: Jede Partialsumme enthält alle bisherigen Glieder. Bei einer arithmetischen Folge mit d > 0 wächst das Glied linear in n, die Partialsumme aber quadratisch, weil der Term d · (n − 1) · n/2 ein n² enthält. Im Beispiel ist der Turm im Jahr 21 schon 483 hoch, die Stufe nur 43.

Fach: Finanzierung

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