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Wie Schwingungen sich zerlegen lassen: Koeffizienten, Symmetrie, Zeigerketten, das Gibbs-Phänomen und die gezupfte Saite.
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Zupfpunkt ziehen, die Saite schwingen sehen und hören: Moden mit Knoten, Spektrum |bₙ| ∝ 1/n²; in der Mitte gezupft fehlen alle geraden Obertöne, nah am Steg wird der Klang heller.
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Sender × Empfänger sin(nx), Fläche über eine Periode sammeln: nur die Frequenz n überlebt (π·bₙ), beim Sägezahn x − π ergibt das −2/n. Spektrum, Zeiger und Pegel zeigen: Erst zwei Empfänger (Sinus und Kosinus) messen die Lautstärke Aₙ unabhängig von der Phase.
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Gerade Funktion → nur Kosinus, ungerade → nur Sinus, Halbwellensymmetrie → nur ungerade Oberschwingungen. Verschieben mischt aₙ und bₙ, die Amplitude Aₙ bleibt gleich — warum der Sägezahn nur Sinusterme hat.
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Fourier-Partialsumme am Sprung: Im Sprung trifft sie genau die Mitte, daneben bleibt ein Überschwingen von 8,95 % der Sprunghöhe, das mit wachsendem N nur schmaler wird. Lupe zoomt mit 1/N, Überschwingen(N) mit Asymptote, Vergleich mit σ-Faktoren und Fejér-Mittel, Sägezahn und Rechteck, N bis 200.
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e^{iφ} und e^{−iφ} laufen gegenläufig über den Einheitskreis; der Mittelpunkt ihrer Verbindung liegt immer auf der reellen Achse bei cos φ, mit −e^{−iφ} auf der imaginären Achse bei i·sin φ. In 3D werden die Zwillinge zu gegenläufigen Schrauben, ihr Mittel zur flachen Kosinuswelle.
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Die Fourier-Reihe verwandelt sich Schritt für Schritt: Euler-Formel einsetzen, nach e^{inωt} sortieren, c_n einführen, negative Indizes — bis f(t) = Σ cₙe^{inωt}. Der Graph bleibt dabei unverändert; c_n und c_{−n} erscheinen als gespiegelte Zeiger.
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cₙe^{int} und c₋ₙe^{−int} drehen gegenläufig, ihre Imaginärteile heben sich auf: Die Spitze der Kette bleibt auf der reellen Achse und zeichnet Dreieck oder Sägezahn. Zweiseitiges Spektrum mit Betrag und Phase, N Paare, Gibbs an den Sprüngen.
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