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Offene Probleme, gelöst von KI Interaktiv erleben.

Jahrzehntelang offene Fragen der Mathematik, zu denen ein KI-Modell 2026 Lösungen vorgelegt hat, als interaktive Apps: Problem verstehen, Ergebnis erleben.

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Die Ebene ist nicht fünffärbbar (Hadwiger–Nelson)

Wie viele Farben braucht die Ebene, damit Punkte im Abstand 1 nie gleich gefärbt sind? Isbells Sechsecke zeigen: 7 reichen, wenn die Größe stimmt. Ein Einheitszirkel markiert jedes gleichfarbige Paar im Abstand 1; Streifen, Quadrate und 5-Farben-Versuche scheitern sichtbar, Moser-Spindel und Golomb-Graph liegen als Einheitsabstands-Graphen auf der Ebene. Ergebnis aus dem KI-Preprint-Katalog openai/math (Familie 158, Lean-formalisiert): 5 Farben reichen nie, also ist die Antwort 6 oder 7.

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Hot-Spots-Vermutung (3D)

Eine isolierte Platte wird erwärmt: Wo liegt am Ende der heißeste Punkt? Die erste Neumann-Eigenfunktion als Relief und Wärmebild für Kreis, Ellipse, Stadion, Bohne, Stern, Form mit Loch oder eine selbst gezeichnete Form. Ohne Loch liegen Maximum und Minimum am Rand, innen gibt es keinen kritischen Punkt (Preprint openai/math, Familie 369). Wärmeleitung mit Spur des Hot Spots, Mischregler bei doppeltem Eigenwert.

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Kreuzungszahlen — Turáns Ziegelei

Wie wenige Kreuzungen braucht eine Zeichnung, in der jeder Punkt mit jedem verbunden ist? Knoten ziehen, Bögen umklappen, suchen lassen: Der Zähler landet bestenfalls auf der Formel von Harary–Hill bzw. Zarankiewicz. Mit geraden Kanten bleibt ab K₈ eine Lücke; die Zwei-Seiten-Zeichnung trifft die Formel genau. Ergebnis aus github.com/openai/math (Familie 165, Lean-formalisiert).

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Gaußscher Graben — kein Weg ins Unendliche

Gaußsche Primzahlen als Trittsteine: Mit fester Schrittweite D zerfällt die Ebene in Inseln. Ein Wanderer läuft vom Ursprung bis an den Graben, ein periodisches Sieb zeigt die Beweisidee. Ergebnis aus openai/math (Familie 028, in Lean formalisiert): Für jedes D sind alle Inseln gleichmäßig beschränkt.

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Isoperimetrie im Würfel-Torus (3D)

Welche Region mit gegebenem Volumen hat die kleinste Oberfläche in einem Würfel mit verklebten Seiten? Volumen ziehen und sehen, wie die beste Form von Kugel zu Röhre zu Platte springt – an den Schwellen 4π/81 und 1/π sind zwei Formen exakt gleich gut. Mit periodischen Nachbarkopien, Profil-Diagramm und Komplementen für V > ½. Ergebnis aus openai/math (Familie 354, Lean-formalisiert).

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Standardabbildung: Chaos auf echter Fläche

Der gekickte Rotor p′ = p + K·sin θ, θ′ = θ + p′ auf dem Torus: Inseln der Ordnung neben einem Meer aus Chaos. Kickstärke K drehen, Bahnen anklicken und ihren Lyapunov-Exponenten konvergieren sehen, den Flächenanteil des Chaos über K verfolgen, in Inseln hineinzoomen. Zum Ergebnis aus github.com/openai/math (Familie 146): Für jedes hinreichend große K hat das Chaos positive Fläche, also positive metrische Entropie (Sinais Vermutung).

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Dreiecksbillard — irrationale Winkel mischen (3D)

Eine Kugel läuft ewig auf einem dreieckigen Billardtisch. Bei rationalen Winkeln bleibt sie auf endlich viele Richtungen beschränkt (die Richtungsrose des gleichseitigen Dreiecks hat genau 6 Speichen). Ist ein Winkel irrational, verteilt sie sich gleichmäßig über Ort und Richtung, sogar paarweise (schwache Mischung). Ecken ziehen, Vorlagen, Zeitraffer, Aufenthaltskarte. Ergebnis aus dem Preprint-Katalog github.com/openai/math (Familie 150).

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Dreiecksgitter — universelle Optimalität

Sich abstoßende Teilchen ordnen sich bei fester Dichte zu Sechseck-Waben — für jede vollständig monotone Abstoßung (Gauß, Riesz, abgeschirmt). Potential und Reichweite wählen, aus Zufall oder Quadratgitter relaxieren lassen, Defekte und Kreispackung sehen; Diagramme zeigen, dass Quadrat-, Rechteck- und Rhombusgitter für jeden Reglerwert mehr Energie haben. Cohn–Kumar-Vermutung in der Ebene, Familie 090 aus github.com/openai/math (KI-erzeugtes Preprint, Hauptsatz in Lean formalisiert).

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Hilberts 16. Problem: Grenzzyklen

Liénard-Systeme ẋ = y − F(x), ẏ = −x: Grenzzyklen per Poincaré-Rückkehrabbildung live gefunden. Für Grad F ≤ 5 sind es höchstens zwei, und zwei werden erreicht. Dazu Vorschau auf Grad 7, die LMP-Vermutung und die Schranke H(n). openai/math Familie 143.

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Keine Perkolation am kritischen Punkt (3D)

Platzperkolation im Würfel bis 64³: Der größte Cluster leuchtet, p lässt sich um p_c ≈ 0,3116 verschieben. Bei p_c reicht er oft von Wand zu Wand, sein Anteil schrumpft trotzdem gegen 0 – es gibt keinen unendlichen Cluster. openai/math Familie 213 (Lean-formalisiert).

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Snaky in 21 Zügen

Du blockst, die KI baut nach einem Beweiszertifikat: Spätestens nach 21 Maker-Zügen steht die Sechser-Form Snaky. Zähler, Zone, Bedrohungen, zweiter Modus als Maker; openai/math Familie 187.

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Anderson-Lokalisierung: 2D gegen 3D (3D)

Ein Teilchen hüpft durch ein ungeordnetes Gitter: Breitet sich die Welle aus oder bleibt sie gefangen? Eigenzustände als Höhenfeld (2D) und Kugelwürfel (3D), Regler für Unordnung, Energie und Gittergröße, Teilnahmezahl und Größenvergleich. In 2D ist jede Unordnung lokalisierend, in 3D gibt es bei schwacher Unordnung Ausbreitung (Preprint openai/math, Familie 261). Mit ehrlicher Endlichkeits-Falle bei schwacher Unordnung in 2D.

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Erstdurchgangs-Perkolation

Feuer auf einem Zufallsgitter: Die Front wird rund, schnellste Wege verschmelzen zu Bäumen, und eine beidseitig unendliche schnellste Route (Bigeodäte) gibt es fast sicher nicht. openai/math, Familie 212.

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Mahler-Vermutung: Körper und Polarkörper (3D)

Ein symmetrischer Körper und sein Polarkörper: Wo der eine weit hinausreicht, ist der andere schmal. Den Würfel zur Kugel und zum Oktaeder morphen, Zylinder, Zonotope und einen Simplex mit verschiebbarem Zentrum vergleichen – der Tacho zeigt das Volumenprodukt exakt. Würfel und Oktaeder landen genau auf der Untergrenze 32/3, die Kugel ganz oben. Ergebnis aus openai/math (Familie 087, Lean-formalisiert): |K||K°| ≥ 4ⁿ/n! in jeder Dimension, Gleichheit genau bei Hanner-Körpern; allgemein ist der Simplex das Minimum.

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XY-Modell: Wirbel und der BKT-Übergang

Live-Monte-Carlo des ebenen XY-Modells: Wirbelpaare lösen sich bei T_BKT ≈ 0,893, die Korrelation fällt genau dort wie r^(−1/4) (openai/math, Familie 216).

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Cardys Formel — Perkolation im Zufallsmosaik

Zufällige Punkte, Voronoi-Zellen, Münzwurf je Zelle: Gibt es einen Weg von links nach rechts? Ecken ziehen, Form wechseln, Voronoi gegen Sechseckgitter: Der Zähler im Hintergrund landet auf Cardys Vorhersage, die nur von der konformen Form abhängt. Im Dreieck gilt Carlesons Gerade P = x. Ergebnis aus github.com/openai/math (Familie 224, nicht in Lean formalisiert).

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Yaus Knotenlinien — Chladni auf Kugel und Torus (3D)

Eine schwingende Fläche hat Linien, die stillstehen: Sand sammelt sich darauf wie auf einer Chladni-Platte. Kugelflächenfunktionen und Torus-Wellen bis Stufe 14, Ringe, Meridiane, Schachbrett oder zufällige Mischung, Knotenlinien leuchten, Länge live gemessen. Das Diagramm zeigt: Die Länge wächst nur wie die Frequenz √λ, nicht schneller. Yaus Vermutung für glatte Flächen, dazu die Gegenbeispiele in Dimension 3 bis 5; openai/math Familie 350 (Lean-formalisiert). Exponatfähig.

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Barnettes Vermutung: Rundreise über jedes Polyeder (3D)

Ein Polyeder mit je drei Kanten an jeder Ecke und nur geraden Flächen hat immer eine Rundreise, die jede Ecke genau einmal besucht. Ein leuchtender Faden sucht sie live per Backtracking: auf Würfel, Prisma, archimedischen Körpern und Zufallspolyedern mit Flächen bis zum Zwölfeck und mehr. Ecken zweifarbig, große Flächen getönt. Zwei Gegenbeispiele, denen je eine Bedingung fehlt (Tutte-Graph, drei Kammern), lassen die vollständige Suche scheitern. openai/math Familie 180 (Lean-formalisiert). Exponatfähig.

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Gaußscher Propeller — die beste Zerlegung des Raums (3D)

Ein Gauß-Hügel, Glaswände, die ihn in Sektoren teilen, und Pfeile für die Gauß-Schwerpunkte der Teile: Wände ziehen, 2 bis 6 Sektoren, Mittelpunkt verschieben, im Raum Halbraum, Tetraeder, Würfel und Oktanten vergleichen. Der Messring schließt sich nur beim Propeller aus drei 120°-Sektoren mit dem Wert 9/(8π). Ergebnis aus openai/math (Familie 096, Lean-formalisiert): Keine Zerlegung in keiner Dimension kommt darüber. Exponatfähig.

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Kakeya-Nadeln: Röhren in alle Richtungen (3D)

Wie dicht lassen sich Nadeln in lauter verschiedenen Richtungen zusammenschieben? Die Kahane-Konstruktion als Bündel aus 16, 256 oder 4096 Röhren: zusammengeschoben schrumpft das Volumen der Vereinigung, aber nur logarithmisch langsam, langsamer als jede Potenz der Dicke δ. Leuchtnadel durch alle Richtungen, Diagramm 2D gegen 3D, ebene Besicovitch-Menge. Ergebnis aus openai/math (Familie 074): Kakeya-Maximal-Vermutung in 3D, volle Dimension in 4D. Exponatfähig.

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Quasi-Riemann-Hypothese: die Zeta-Landschaft (3D)

Die Riemannsche Zetafunktion als begehbare Landschaft über dem kritischen Streifen: Wo sie den Boden berührt, liegt eine Nullstelle, jede trägt eine Lichtnadel auf σ = ½. Hinter einer Glaswand bei 7/8 liegt der Streifen, der jetzt bewiesen nullstellenfrei ist, in jeder Höhe; die alten Grenzen von 1899 und 1958 rücken dagegen an 1 heran. Fenster bis t = 1000, Primzahl-Folge π(x) gegen li(x). Ergebnis aus openai/math (Familie 003, Lean-formalisiert); die Riemann-Hypothese selbst bleibt offen. Exponatfähig.

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Viele unendliche Cluster: Perkolation im hyperbolischen Raum (3D)

Eine Kuppel aus Siebenecken, das {7,3}-Gitter der hyperbolischen Ebene: Jede Kante ist mit Wahrscheinlichkeit p offen. Zwischen p_c und p_u reichen mehrere getrennte Cluster gleichzeitig bis zum Rand, in ℤ² springt es direkt von keinem zu einem. Kuppel, Poincaré-Scheibe und ℤ²-Vergleich, Zähler und Kurve über p. Benjamini–Schramm 1996, bewiesen für jeden nicht-amenablen Graphen in openai/math, Familie 214 (Lean-formalisiert). Exponatfähig.

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Steinitz-Spaziergang — kurze Teilsummen in jeder Länge (3D)

Viele kurze Pfeile, jeder darf umgedreht werden: Bleibt der Spaziergang der Teilsummen in einer Kugel vom Radius √d, egal wie lang er ist? Zufällige Vorzeichen laufen wie √n davon, die gierige Wahl scheitert an einer Gegner-Folge, eine Suche über die ganze Folge bleibt drin. Regler für Schritte (bis 2000) und Dimension (2–12), Diagramme über n und über d. Euklidischer Steinitz–Bergström-Satz, openai/math Familie 097 (Lean-formalisiert). Exponatfähig.

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Zylinder unter der Halbflächen-Schranke (3D)

Wie wenig Querschnitt brauchen Zylinder, um ein Tetraeder zu überdecken? Bangs zwei Zylinder (1951) treffen genau die halbe kleinste Schattenfläche. Gefächert und leicht gekippt, mit passenden Seitenebenen und kleinem Zuschlag, kommen 2·⌈2/ε²⌉ Zylinder echt darunter. Neigung und Sektorzahl wählen, exakte Kosten sehen, Lückentest mit 120 000 Punkten, grobe Fächerung reißt. Der Gewinn ist winzig, aber echt. openai/math Familie 100 (Lean-formalisiert). Exponatfähig.

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