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Von der Folge zum Kredit: arithmetisch und geometrisch, Sparraten, Annuitäten, unterjährige Verzinsung und die ewige Rente.
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Arithmetische Folge als Treppe aus Sockel a und Blöcken d: rekursiv Stufe für Stufe (Rückfrage bis Stufe 1, dann hinaufspringen, ein Mond je Sprung) gegen explizit aₙ = a + (n−1)·d. Bis Stufe n sind es n − 1 Sprünge; ein Geisterblock widerlegt „a + n·d“.
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Folge gegen Reihe als Treppe und Turm: Die Stufen aₖ = a + (k−1)d stehen unten, darüber fliegen die Stufen 1 … n hoch und stapeln sich zum Turm sₙ = a₁ + … + aₙ. Die Turmspitzen bilden wieder eine Folge (Partialsummen), Sockel n·a und Zuwachs d·(n−1)n/2 sind einfärbbar, dazu kleiner Gauß und geometrischer Modus. Widerlegt „sₙ ist der Wert im Jahr n“.
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Arithmetische und geometrische Folge als Balkenpaare in drei Szenarien der Vorlesung: Produktion mit +d oder +p %, lineare gegen geometrisch degressive Abschreibung, Zins ohne und mit Zinseszins. Differenz-Klammer und Quotient-Klammer am gewählten Jahr, zwei Typ-Test-Karten, deren waagerechte Spur den Typ verrät, Folienaufgaben mit Lösung und ein Quiz. Widerlegt „die degressive Abschreibung erreicht irgendwann null“.
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Sₙ = 1 + q + … + qⁿ⁻¹ als Balken: mal q, eine Stelle weiter, abziehen – die Mitte hebt sich auf, nur qⁿ und 1 bleiben. Sechs scrubbare Schritte bis Sₙ = (qⁿ − 1)/(q − 1), Sonderfall q = 1, q < 1 und Sparplan-Brücke.
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Sparplan mit konstanter Rate: jede Rate als Turm am Zahlungstag, Zinstreppe und kleiner Gauß n(n+1)/2 ohne Zinseszins, geometrische Reihe Kₙ = E·q·(qⁿ−1)/(q−1) mit Zinseszins, vorschüssig und nachschüssig, Kontostand, Barwert und Bausparvertrag.
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Gleiche Rate, wanderndes Verhältnis: Zins- und Tilgungsanteil je Jahr, Restschuld Rₙ = S qⁿ − A(qⁿ − 1)/(q − 1), Zinsgrenze S(q − 1), Annuität und Laufzeit mit Formel, vor- und nachschüssig, Ratentilgung zum Vergleich.
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Was bringt es, wenn die Bank die Zinsen öfter im Jahr gutschreibt? Der Kontostand wächst als Treppe aus Zinsstücken, jedes etwas größer als das vorige. Ein Zinsstapel vergleicht m = 1 mit m Terminen und zeigt den kleinen Mehrertrag. Die zweite Karte trägt den effektiven Jahreszins p_eff = 100(1 + p/(m·100))^m − 100 über m auf: Er steigt, sättigt aber an der Grenze 100(e^{p/100} − 1) der stetigen Verzinsung. Beispiel der Folie (1000 €, 6 %, 10 Jahre) und Bernoulli-Grenzwert e. Widerlegt „monatlich bringt 12-mal so viel“ und „p_eff wächst unbegrenzt“.
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Monatliche Raten mit jährlicher Zinsgutschrift: Zinsstreifen als Gauß-Treppe, konformer Jahresbeitrag und Restguthaben bei Entnahmen über n Jahre.
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Wie lange reicht ein Kapital? Kontostand, Zinsen und Entnahme je Periode, ewige Rente a_ewig = K(q − 1) und Laufzeit N = ln(A/(A − S(q − 1)))/ln q mit senkrechter Asymptote, letzte Abhebung, jährlich oder monatlich, vor- und nachschüssig.
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Summe 1 + 2 + … + n als Würfeltreppe: Eine um 180° gedrehte Kopie ergänzt sie zum Rechteck n × (n+1), jede Spalte gleich hoch. Mit Gauß’ Paaren bis 100, Grenze n − 1 (Folie 8) und arithmetischer Reihe sₙ = n/2·(a₁ + aₙ) (Folie 9).
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Annuitäten-, Tilgungs- und endfälliges Darlehen für dieselbe Schuld: Zins und Tilgung je Jahr, Restschuld als Treppe, Zinsen = p/100 · Fläche darunter, Gesamtzahlung und Barwert (bei i = p für alle S), Vergleichszins i, Folie 10 mit arithmetischer Zinsfolge.
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