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Von der Gleichung zur Kurve: Anfangswerte, lineare Gleichungen, Substitution und die Welten, in denen sie gelten.
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Einstieg in Differentialgleichungen: neun laufende Welten aus Alltag, Physik, Biologie, Medizin, Epidemiologie, Ökonomie und Psychologie (Kaffee, Fallschirm, Bakterien, Federpendel, Hasen und Füchse, Epidemie, Tabletten, Solow-Wachstum, Romeo und Julia). Nach Kurvenform geordnet bleiben drei Formen. Im Detail: Steigungspfeil = rechte Seite der DGL, ziehbarer Startwert, Lösungsschar, Gleichgewicht.
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Einstieg in Differentialgleichungen als Krimi: Der Täter ist eine Funktion, bekannt ist nur etwas über ihre Ableitung. Raten und Probe sichtbar gemacht: echte Tangente gegen die Steigung, die die DGL verlangt. y′ = 5y mit eˣ, e⁵ˣ, e⁵ˣ + C und C·e⁵ˣ (Schar, Trajektorie) sowie y′·y = −x: Die Tangente steht senkrecht auf dem Radius, deshalb lösen nur Kreise.
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h″ = −g am fallenden Ball: zweimal integriert bleibt eine Schar von Wurfparabeln mit C₁ und C₂. Ohne Bedingung fallen viele Kugeln, mit nur h(0) immer noch eine Schar, erst h(0) und h′(0) wählen genau eine Bahn. Ziehbare Anfangshöhe und Startgeschwindigkeit (Starttangente), Randwertproblem mit Ziel nach t₁, Erde/Mars/Mond, Rechenweg mit Zahlen.
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y′ + p(x)·y = q(x) in vier Schritten: homogene Schar y_h = C·e^(−P(x)) per Separation, Variation der Konstanten mit einem Läufer, der über die Schar wandert (C(x) als Kurve in der C-Ebene), allgemeine Lösung als um y_p verschobene Schar mit der Differenz zweier Lösungen, Anfangswert. Rechenweg mit Zahlen; Beispiele y′ + y = x, y′ − 2xy = x, y′ + y/x = x², Abkühlung, RC-Glied; Spiel „Bau die Lösung zusammen“.
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DGLs vom Typ y′ = f(ax + by + c) in fünf Schritten: u = ax + by + c erkennen, u′ = a + b·f(u) herleiten, trennen und integrieren, zurücksubstituieren, Anfangswert einsetzen. Zwei Karten x-y und x-u, „Ebene drehen“ macht die Geraden u = konstant waagrecht; Beispiele y′ = 2x − y (Asymptote y = 2x − 2), y′ = (x + y)², y′ = 1/(x − y) + 1, y′ = x + y + 1; Spiel „Finde u“ und „Wohin läuft sie?“.
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DGLs y′ = F(y/x) im Richtungsfeld: Isoklinen sind Ursprungsgeraden, eine zentrische Streckung bildet Lösungen auf Lösungen ab (C′ = C − ln λ), beim Zoom zum Ursprung bleibt das Feld gleich. Rechenweg in fünf Schritten mit Zahlen: erkennen, u = y/x, x·u′ = F(u) − u trennen, zurücksubstituieren, Anfangswert. Fünf Beispiele bis zur logarithmischen Spirale, Fixgeraden F(u) = u, Test „ähnlich?“ mit Strahlprobe.
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Das explizite Euler-Verfahren Schritt für Schritt: Steigung am Startpunkt ablesen, eine Schrittweite h der Tangente folgen, neuer Punkt. Die gestrichelte Lösungskurve durch jeden Punkt zeigt, wie das Verfahren auf Nachbarkurven springt und sich Fehler aufsummieren. Rechte Seite f(x, y) frei eingeben oder Vorlagen wählen (Folienbeispiel, Schwingung, Wachstum, Zerfall, logistisch); Schrittweite schieben, mit h/2 und h/4 vergleichen, Fehler im log-log-Bild ablesen — Ordnung 1, Sonderfälle und Instabilität bei zu großem h.
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