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Vom Flächeninhalt zum Integral: Riemann-Summen, Stammfunktionen, Integralregeln, Einheiten und uneigentliche Integrale.
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Das bestimmte Integral als Grenzwert von Riemannsummen: 3D-Säulenlandschaft unter der Kurve, fünf Beispielfunktionen, Stützstellenwahl (Unter-/Ober-/Links-/Mitte-/Rechts-Summe), „Verfeinern"-Animation (Säulen werden immer dünner). Zwei Polstellen-Sonderfälle zeigen: bei 1/√x existiert das Integral trotz Pol, bei 1/x² wächst die Summe über alle Grenzen — der Grenzwert existiert nicht.
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Das Integral als orientierte Flächenbilanz und seine vier Regeln: Intervalladditivität mit ziehbarer Zwischenstelle c (auch außerhalb von [a; b]), Vertauschen der Grenzen mit negativer Streifenbreite dx, Faktorregel mit Regler r und Summenregel mit f, g und f + g. Unten jede Teilfläche als Pfeil: Flächen unter der Achse zählen negativ.
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Zu f gibt es unendlich viele Stammfunktionen F + C — senkrecht verschobene Kopien mit derselben Steigung f(x₀) an jeder Stelle. Oben f mit Lineal, unten die Schar mit parallelen Tangenten; Punkt P legt C fest. Probe durch Ableiten entlarvt typische Fehler wie xⁿ → n·xⁿ⁻¹. Sechs Funktionen von x² bis eˣ.
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Ein Streifen unter einer Rate ist Höhe mal Breite, mit Einheiten an beiden Kanten: 5,94 m/s · 1 s = 5,94 m. Die Streifen summieren sich zu Weg, Volumen, Energie oder Ladung, keiner Rate mehr. Unten der Bestand mit Anfangswert: Das Integral ist die Änderung. Fünf Sachkontexte von Geschwindigkeit bis Photovoltaik, Prüffrage „Welche Einheit?“.
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Die Grenze z läuft bis eine Million, die Fläche A(z) wird live mitgezeichnet: Unter 1/x² nähert sie sich 1, unter 1/x wächst sie wie ln z über alle Grenzen. Exponent p frei (konvergent genau für p > 1), Vergleich nebeneinander, Pol-Fall ∫₀¹ mit ε → 0 und Rechnung in drei Schritten statt „∞ einsetzen“.
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